En janvier 2012
Calcul de la surface représentée par le dessin ci-dessous au moyen du calculateur
TI-89 Titanium
Cette surface est composée de 4 parties
identiques plus ou moins triangulaires et
mises en carré.
Chacun de ces presque-triangles est la
surface qui procède d’une coupe faite dans
un cylindre de rayon R (surface grise).
Nous
portons
tout d’abord notre intérêt sur la surface bleue. La ligne de
base de cette surface bleue est ce qu’on appelle une
corde du cercle de rayon R. En se fondant sur le schéma
du cercle ci-contre, nous pouvons exprimer la relation de
Pythagore (1er écran) puis isoler R de cette expression (
2ème écran). D’autre part, nous pouvons exprimer la
tangente de α puis l’angle α lui-même (3
ème
et 4
ème
écrans).
Or nous pouvons saucissonner la surface grise dessinée sur le cylindre en
une infinité d’arcs de cercle d’épaisseur infinitésimale dx dont le demi-
angle (pourquoi demi ? considérer le schéma ci-dessus) varie entre α
pour x = 0 à 0 pour x =
a/2. Or la variation de
l’angle est linéaire ; elle
est donc donnée par
. Quant à la longueur de l’arc d’épaisseur dx,
elle vaut
. La surface cherchée est donc
En janvier 2012
l’intégrale
.
Avec le calculateur :
La dernière manœuvre consiste à se donner des valeurs concrètes pour les constantes a, h et R :
Pour a=10, h=2 et R=12, la surface presque triangulaire grise vaut 27,819. Ce résultat est dans le bon
ordre de grandeur puisque les 4 presque-triangles recouvrent une surface carrée de
. La
courbure augmente bien sûr un peu cette valeur, et de 25 on passe ainsi à 27,819.
